Да, PHP-код запускать можно - если у тебя на компьютере стоит интерпретатор PHP (например, в составе OpenServer).
C БД сложнее. Либо в её настройках надо разрешать подключение из интернета, либо надо пробрасывать порт 3306 (для MySQL) c сервера на компьютер - через SSH-подключение к серверу (например, в программе PuTTY).
Да, в принципе, это возможно, но для этого вам необходимо настроить ваш локальный веб-сервер (например, Apache) и PHP на вашем компьютере. Затем вы можете разместить свой PHP файл на вашем локальном сервере и настроить свою программу для отправки AJAX-запросов на этот файл. Однако, для работы с БД, вы должны настроить подключение к БД в своем PHP-файле, чтобы он мог обращаться к БД на хостинге. Также убедитесь, что ваш хостинг разрешает подключение к БД с внешних источников.