Через css фоном элемента задаю картинку, как применить к этой картинки свойство border-radius? Именно к картинке, а не к элементу фоном которого она задана.
Картинка всего лишь фон, вы оперируете самим блоком, а не картинкой. Все, что вы можете сделать с фоновой картинкой - это повторить ее, сместить, масштабировать.