Вообще то всё, что ты видишь из интернета на экране, сначала скачивается на компьютер в одну из папок Temp или cache, обрабатывается, и только после этого воспроизводится. Так что прямо с сайта ты никакой записи вести не сможешь, и скачиваешь ты или только смотришь видео - разница только в папке назначения. А записываешь программами сигнал не с экрана, а с цифрового выхода видеокарты.